समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं? परिभाषा, प्रकार, गुण, उदाहरण

Note: Isosceles triangle meaning in Hindi= समद्विबाहु त्रिभुज

समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं? Samdibahu tribhuj kise kahte hain 

समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं।

उपरोक्त चित्र स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि इसमें दो भुजाएँ समान हैं, और यही समानता इस त्रिभुज को समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। इस त्रिभुज में भुजाएँ AB और BC समान हैं, और तीसरी भुजा AC त्रिभुज का आधार है ।

इस त्रिभुज को और अधिक समझने के लिए, यह याद रखना होगा कि समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई क्या होती हैं?

समद्विभाजक वह रेखा होती है, जो किसी कोण के शीर्ष से निकलती है और उस कोण को दो बराबर कोणों में विभाजित करती है।

नीचे के चित्र में समद्विबाहु त्रिभुज (samdibahu tribhuj) में, समद्विभाजक खंड BH है|

माध्यिका वह रेखाखंड होता है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा पर या त्रिभुज की भुजा वाली रेखा पर गिराया गया लम्ब है।

नीचे के चित्र में समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई BH है।

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समद्विबाहु त्रिभुज क्या होता है? Samdvibahu tribhuj kya hota hai

यहां पर कुछ सरल नियम दिए गए हैं जिनके द्वारा आप यह निर्धारित कर पाएंगे कि कौन सा त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज होता है।

• यदि किसी त्रिभुज में दो समान कोण हों, तो वह त्रिभुज निश्चित रूप से एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।
• यदि किसी त्रिभुज की ऊँचाई, उसी कोण से खींची गई उसकी माध्यिका के बराबर होती है, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है। 
• यदि किसी त्रिभुज की ऊँचाई, उसी कोण से खींचे गए उसके समद्विभाजक के बराबर होती है, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है।
• यदि किसी त्रिभुज का समद्विभाजक, उसी कोण से खींची गई उसकी माध्यिका के बराबर होता है, तो ऐसा त्रिभुज पुन: समद्विबाहु होता है|

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समद्विबाहु त्रिभुज के प्रकार

समद्विबाहु त्रिभुज के प्रकार निम्न हैं:

• न्यूनकोण समद्विबाहु त्रिभुज: इसके सभी कोण न्यूनकोण होते हैं, अर्थात सभी कोण 90º से कम होते हैं।
• समकोण समद्विबाहु त्रिभुज: इसका एक कोण 90º तथा अन्य दो कोण 45º के होते हैं।
• अधिककोण समद्विबाहु त्रिभुज: इसका एक कोण अधिक कोण (90º से अधिक) होते है और अन्य दो कोण न्यूनकोण हैं।

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समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

एक समद्विबाहु त्रिभुज (samdibahu tribhuj) को और अधिक समझने और इसके गुणों को जानने के लिए आप नीचे दी गयी 4 प्रमेयों को इस्तेमाल कर सकते हैं-

प्रमेय 1- एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

प्रमेय का प्रमाण:

मान लीजिए कि AC एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार है, जिसका द्विभाजक DK है। त्रिभुज ADK और त्रिभुज CDK में दो भुजाएं और दो कोण  बराबर हैं (AD = DC, DK उभयनिष्ठ है, और चूँकि DK एक समद्विभाजक है, कोण ADK कोण CDK के बराबर है)। त्रिभुजों की समानता के अनुसार कोण A कोण C के बराबर होगा।

अतः हम कह सकते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

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प्रमेय 2: एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींचा गया समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई के बराबर होता है।

प्रमेय का प्रमाण:

• ABH = CBH दो भुजाओं के अनुदिश और उनके बीच का कोण (कोण ABH और CBH बराबर हैं क्योंकि BH समद्विभाजक है, अतः AB = BC, क्योंकि ABC समद्विबाहु है, BH उभयनिष्ठ भुजा है)।
• तो, सबसे पहले, AH = HC और BH माध्यिका है।
• दूसरे, कोण BHA और BHC बराबर हैं, और वे आसन्न भी हैं, यानी वे 180 डिग्री तक जोड़ते हैं। तो वे 90 डिग्री में बराबर हैं और BH ऊंचाई है।

अतः हम कह सकते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींचा गया समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई के बराबर होता है।

प्रमेय 3: एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींची गई माध्यिका, समद्विभाजक और ऊँचाई के बराबर होती है।

प्रमेय का प्रमाण:

• उपरोक्त चित्र के अनुसार AH = CH बराबर है क्योंकि BH माध्यिका है, और AB = BC है क्योंकि ABC समद्विबाहु है, BH उभयनिष्ठ है।
• इसलिए, सबसे पहले, कोण ABH और CBH बराबर हैं और BH एक समद्विभाजक है।
• दूसरे, कोण BHA और BHC बराबर हैं, और वे आसन्न भी हैं, यानी वे 180 डिग्री तक जोड़ते हैं। तो वे 90 डिग्री में बराबर हैं और BH ऊंचाई है।

अतः हम कह सकते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींची गई माध्यिका, समद्विभाजक और ऊँचाई के बराबर होती है।

प्रमेय 4- एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार तक खींची गई रेखा, समद्विभाजक और माध्यिका होती है।

प्रमेय का प्रमाण:

• ABH = CBH समकोण त्रिभुजों के आधार पर, कर्ण और संगत भुजाओं की समानता (AB = BC, क्योंकि ABC समद्विबाहु है, BH उभयनिष्ठ भुजा है)।
• इसलिए, सबसे पहले, कोण ABH और CBH बराबर हैं और BH एक समद्विभाजक है।
• दूसरा, AH = HC और BH माध्यिका है।

अतः हम कह सकते हैं कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार तक खींची गई रेखा, समद्विभाजक और माध्यिका होती है।

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समद्विबाहु त्रिभुज के उदाहरण Samdibahu tribhuj ke example

समद्विबाहु त्रिभुज के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं-

उदाहरण 1- नीचे दिए गए त्रिभुज  ABC में जिसका आधार AC है: C = 80°और AB = BC है तो कोण B का मान कितना होगा?

चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज (Samdvibahu tribhuj) के आधार पर दोनों कोण बराबर होते हैं, और दिया गया त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि AB = BC है, अत: A = C = 80°।

आप जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

अतः कोण B = 180 - (कोण A + कोण C) = 180° - (80° + 80°)।

उत्तर: कोण B = 20°।