अभाज्य संख्या किसे कहते हैं? Prime Number Kya Hota Hai

अभाज्य संख्याओं का ज्ञान प्राचीन काल से ही मनुष्यों को है। ऐसा माना जाता है कि प्राचीन मिस्रवासी निश्चित रूप से बहुत पहले से ही अभाज्य संख्याओं के बारे में जानते थे।

गणित विषय में अभाज्य संख्याएँ बहुत महत्वपूर्ण होती हैं, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणन द्वारा दर्शाया जा सकता है। चलिए जानते हैं कि Prime Number kya hota hai?

अभाज्य संख्या किसे कहते हैं? Abhajya Sankhya kise kahte hain

वे प्राकृत संख्याएँ जो केवल स्वयं और 1 से विभाजित होती हैं, उन्हें अभाज्य संख्या कहा जाता है। अर्थात अभाज्य संख्याएँ 1 और स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं हो सकती हैं।

अभाज्य संख्या के कुछ प्रमुख उदाहरण 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 37 हैं।

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अभाज्य संख्याओं के गुण क्या होते हैं?

अभाज्य संख्याओं की मुख्य विशेषताएँ निम्नलिखित हैं-

• अभाज्य संख्याओं कि गणना अनंत हैं, क्योंकि एक अभाज्य संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो, आप हमेशा उससे बड़ी दूसरी अभाज्य संख्या निकाल सकते हैं।
• जब एक अभाज्य संख्या p दूसरी किसी संख्या n की घात को विभाजित करती है, तो वह n को भी विभाजित करेगी। उदाहरण के लिए संख्या 64 संख्या 8 का वर्ग होती है, क्यूंकि 2 संख्या 64 को विभाजित करती है अतः यह निश्चित रूप से 8 को भी विभाजित करेगी। ध्यान रहे संख्या 2 एक अभाज्य संख्या होती है।
• 2 को छोड़कर सभी अभाज्य संख्याएँ विषम संख्याएँ होती हैं, अर्थात इनका अंतिम अंक 1, 3, 7 या 9 होता है। ध्यान रखियेगा कि 5 को छोड़कर कोई भी ऐसी संख्या नहीं है, जिसका अंतिम अंक 5 हो और वह अभाज्य संख्या हो, क्यूंकि यदि किसी संख्या का अंतिम अंक 5 होगा तो वह निश्चित रूप से 5 से विभाजित हो जाएगी और इस तरह वह भाज्य संख्या होगी नाकि अभाज्य।
• यदि p अभाज्य है और दो संख्याओं a और b के गुणनफल (ab) का भाजक है, तो p उनमें से एक संख्या को विभाजित करेगी। उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या 3 गुणनफल 9 x 11 = 99 को विभाजित करती है, क्योंकि 3, 9 का भाजक होता है।

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अभी तक आपने जान लिया कि Abhajya Sankhya kise kahate hain और इसकी परिभाषा क्या है। चलिए जानते हैं कि कैसे निर्धारित करें कि दी गयी संख्या एक अभाज्य संख्या है या नही।

कैसे पता करें कि दी गयी संख्या अभाज्य है?

एक अभाज्य प्राकृत संख्या p और 0 से बड़ी कोई प्राकृत संख्या दी गई है, तो यह सत्य है कि संख्या a, संख्या a^p- p का गुणज होता है, इस प्रकार हम यह पता कर सकते हैं कि दी गयी संख्या अभाज्य है नहीं। जहाँ p एक अभाज्य संख्या होती है।

उपरोक्त नियम महान गणितज्ञ पियर द फर्मा (Pierre de Fermat) ने दिया है।

इसको समझने के लिए आपको निम्न उदाहरण को समझना होगा। इसको समझने कि लिए हमें छोटी संख्याओं का उपयोग करना पड़ेगा।

उदाहरण के लिए मान लीजिए कि p = 4, और a = 6: आपको दिया गया है। हम पहले से जानते हैं। अब उपरोक्त सूत्र के अनुसार यदि 4 एक अभाज्य संख्या होगी तो 6⁴-6 , 4 से विभाजित होना चाहिए|

चलिए देखते हैं-  

6⁴ – 6 = 1296 – 6 = 1290

जबकि 1290 संख्या 4 से पूर्णतया विभाजित नहीं होता है अर्थात हम कह सकते हैं कि 4 एक अभाज्य संख्या नहीं होती है।

चलिए अब इसी को हम संख्या 5 के साथ समझते हैं, अर्थात p = 5, और a = 6: तो 

6⁵-6 को 5 से विभाजित होना चाहिए|

6⁵ – 6 = 7766 – 6 = 7760

7760, 5 से पूरी तरह से विभाजित है, अर्थात हम यह कह सकते हैं कि संख्या 5 एक अभाज्य संख्या होती है।

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अभाज्य संख्या ज्ञात करने के अन्य तरीके

जैसा कि हम जानते हैं कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं अतः उन्हें निर्धारित करने के लिए कोई एक सूत्र नहीं है। कुछ अलग अलग सूत्रों का उपयोग करके हम यह पता लगा सकते हैं कि कौन से संख्या, अभाज्य संख्या है -

2ⁿ – 1 सूत्र का उपयोग करके हम कुछ अभाज्य संख्याओं को ज्ञात कर सकते हैं। जैसे कि-

• 2² – 1 = 4 – 1 = 3;
• 2³ – 1 = 8 – 1 = 7;
• 2⁵ – 1 = 32 – 1 = 31;
• 2⁷ – 1 = 128  – 1 = 127

लेकिन यह सूत्र हमेशा काम नहीं करता है, जैसे कि संख्या 4  रखने पर 2⁴ – 1= 16 – 1 = 15 और 15 एक अभाज्य संख्या नहीं है।

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