आयत किसे कहते हैं? परिभाषा, सूत्र, क्षेत्रफल, परिमाप

Rectangle in Hindi- आयत, रेक्टेंगल को हिंदी में आयत कहा जाता है।

आयत किसे कहते हैं?

ज्यामिति या रेखागणित में, एक आयत को एक आकृति के रूप में प्रदर्शित किया जाता है जो चार भुजाओं से बनी होती है। चारों भुजाओं में से दो भुजाओं की लंबाई एकसमान होती है और अन्य दो भुजाओं की लम्बाई एक समान होती है, और ये भुजाएं आपस में 90° के चार समकोण बनाती हैं।

आयत की परिभाषा-

“आयत एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है, जिसमें आमने सामने की भुजाओं की लम्बाई एक समान होती है और इसके सभी कोण 90° के होते हैं।”

आयत में कई विशेषताएं होती हैं और इसकी सबसे प्रमुख विशेषता यह है की इसकी आमने सामने की भुजाएं समान्तर होती है।  समान्तर भुजाएं वे भुजाएं होती हैं जो एक दूसरे को कभी भी विच्छेदित नहीं करती हैं।

उपरोक्त चित्र में आप देख सकते हैं आयत ABCD के आमने सामने की भुजाएं बराबर हैं, AB=CD=l और AD=BC=b|

समांतर चतुर्भुज विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं, आयत एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज ही होता है, जिसकी विशेषता यह है कि उनके आंतरिक कोण समकोण होते हैं, और आमने सामने की भुजाएं बराबर होती हैं।

ध्यान रहे की वर्ग भी एक समांतर चतुर्भुज होता है और इसके भी सभी कोण समकोण होते हैं परन्तु आयत और वर्ग में सबसे बड़ा अंतर यह है की वर्ग की चारों भुजाएं एक समान होती हैं जबकि आयत में ऐसा नहीं होता है।

[ जानिए- समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं? ]

आयत का विकर्ण क्या होता है?

आयत का विकर्ण एक रेखाखंड होता है जो आयत को दो समान समकोण त्रिभुज में बांटता है। आयत का विकर्ण आयत में खींची जाने वाली सबसे लम्बी रेखा होती है।

किसी भी आयत में अधिकतम दो विकर्ण हो सकते हैं और ये दोनों एक दूसरे को एक बिंदु पर विच्छेदित करते हैं। आयत के नीचे दिए गए चित्र में AC और BD विकर्ण हैं।

आयत के विकर्ण का सूत्र

आयत के विकर्ण का सूत्र निकलने के लिए हम पाइथागोरस के प्रमेय का प्रयोग करते हैं। आयत के विकर्ण का सूत्र-

आयत का विकर्ण = √ (लंबाई² +चौडाई²),

या

D= √ (l² +b²)।

[ जानिए- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होता है? ]

आयत का क्षेत्रफल क्या होता है?

किसी विशेष आकृति की सतह द्वारा घेरे गए स्थान की मात्रा को उस आकृति का क्षेत्रफल कहा जाता है। एक आयत द्वारा उसकी सीमा के अंदर घेरा गया क्षेत्र आयत का क्षेत्रफल कहलाता है।

आयत के क्षेत्रफल का सूत्र-

आयत के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके हम आयत के द्वारा घेरे गए स्थान की गणना करते हैं। 

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार हम कह सकते हैं कि, एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र-

A= l*b होता है|

जहाँ A= आयत का क्षेत्रफल, l= आयत की लंबाई और b= आयत की चौड़ाई है|

नोट- अगर लम्बाई और चौड़ाई मीटर में दी गयी हैं तो क्षेत्रफल मीटर² होगा, अगर सेंटीमीटर में दी गयी हैं तो सेंटीमीटर² होगा और यदि मिलीमीटर में दी गयी हैं तो आयत का क्षेत्रफल मिलीमीटर² होगा।

आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?

एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर होता है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: दिए गए डेटा से लंबाई और चौड़ाई की गणना करें।

चरण 2: लंबाई और चौड़ाई के मानों का गुणनफल निकालिये।

चरण 3: उत्तर दी गयी इकाइयों के वर्ग में लिखिए जैसेकि मीटर², सेंटीमीटर², मिलीमीटर² इत्यादि।

[ जानिए- वर्ग का क्षेत्रफल क्या होता है? ]

विकर्ण द्वारा एक आयत का क्षेत्रफल

एक आयत का विकर्ण उसके विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाली आयत के अंदर की सीधी रेखा है। आयत में दो विकर्ण हैं और दोनों समान लंबाई के होते हैं।

आयत के विकर्ण का प्रयोग करके भी हम आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, जोकि निम्नलिखित है-

जैसा कि हम जानते हैं 

आयत का विकर्ण = √ (लंबाई² +चौडाई²),

(विकर्ण)2 = (लंबाई)² + (चौड़ाई)²

(लंबाई)2 = (विकर्ण)² - (चौड़ाई)²

लंबाई = ⎷(विकर्ण)² - (चौड़ाई)²

अब, आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र लंबाई × चौड़ाई है। वैकल्पिक रूप से, हम इस सूत्र को ((विकर्ण)² - (चौड़ाई)²) × चौड़ाई के रूप में लिख सकते हैं।

अत: आयत का क्षेत्रफल = चौड़ाई (⎷(विकर्ण)² - (चौड़ाई)²)|

[ पढ़िए - विषमबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं? ]

आयत का परिमाप क्या होता है?

एक आयत का परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम चारों भुजाओं की लंबाई जोड़ते हैं। चूँकि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ हमेशा समान होती हैं, इसलिए हमें आयत का परिमाप ज्ञात करने के लिए लंबाई और चौड़ाई का मान पता करना होता है।

हम आयत के परिमाप को उसकी लंबाई और चौड़ाई के योग के दुगुने के रूप में लिख सकते हैं।

आयत के परिमाप का सूत्र क्या होता है?

आयत के परिमाप को P से दर्शाया जाता है। मान लीजिए की आयत की लम्बाई l और चौड़ाई b है। तो एक आयत का परिमाप (P) आयत की सभी भुजाओं की कुल लंबाई के बराबर होगा। चूँकि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं, एक आयत की दो समान लंबाई और दो समान चौड़ाई होती है।

आयत के परिमाप का सूत्र नीचे दिया गया है:

परिमाप = लंबाई + लंबाई + चौड़ाई + चौड़ाई

P = l + l + b + b

या, P = 2 (l + b)

इसलिए, आयत के परिमाप का सूत्र, P = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (आसन्न भुजाओं का योग)|

[ पढ़िए - वर्ग का परिमाप का सूत्र ]

आयत से सम्बंधित महत्वपूर्ण उदाहरण

प्रश्न- एक आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई 40 मीटर और 30 मीटर है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?

उत्तर-

दिया गया है-

खेत की लंबाई, l = 40 मीटर और खेत की चौड़ाई, b = 30 मीटर

क्यूंकि खेत आयत के रूप में है अतः यहाँ आयत के क्षेत्रफल के सूत्र का प्रयोग होगा। 

आयत के क्षेत्रफल का सूत्र A = l × b

अतः खेत A का क्षेत्रफल: A = l × b

= 40 मीटर × 30 मीटर

= 1200 वर्ग मीटर

अतः खेत का क्षेत्रफल 1200 वर्ग मीटर होगा।

प्रश्न- एक आयत की लंबाई 250 सेमी और चौड़ाई 40 सेमी है। इस आयत का परिमाप क्या होगा?

उत्तर-

दिया गया है-

आयत की लंबाई, l = 250 सेमी,

आयत की चौड़ाई, b = 40 सेमी,

आयत के परिमाप का सूत्र P = 2 (l + b) 

P = 2 (250 + 40) = 580

दिए गए आयत का परिमाप 580 सेमी है।

प्रश्न- एक आयताकार पार्क की लंबाई चौड़ाई से 20 मीटर अधिक है। यदि पार्क की लंबाई 45 मीटर है, तो इस आयताकार पार्क का परिमाप ज्ञात कीजिए?

उत्तर-

आयताकार पार्क की लंबाई चौड़ाई से 20 मीटर अधिक है। चूंकि पार्क की लंबाई 45 मीटर है, इसलिए आयताकार पार्क की चौड़ाई 45 - 20 मीटर या 25 मीटर होगी।

पार्क की लंबाई, l = 45 m

पार्क की चौड़ाई, b = 25 m

आयत के परिमाप का सूत्र P = 2 (l + b)

P = 2 (45 + 25) = 2 (70) = 140

दिए गए आयत का परिमाप 140 मीटर होगा।